Типовик
Расчет цепей

Физика

Интегралы
На главную

Интегральное исчисление Оглавление

 

Производная по направлению.

 

Рассмотрим функцию u(x, y, z) в точке М( x, y, z) и точке М1( x + Dx, y + Dy, z + Dz).

 Проведем через точки М и М1 вектор . Углы наклона этого вектора к направлению координатных осей х, у, z обозначим соответственно a, b, g. Косинусы этих углов называются направляющими косинусами вектора .

  Расстояние между точками М и М1 на векторе  обозначим DS.

 

 

  Высказанные выше предположения, проиллюстрируем на рисунке: Вычисление кратных интегралов Примеры решения и оформления задач контрольной работы

 z

 

  M 

 

 

 

 

  M1

 

  Далее предположим, что функция u(x, y, z) непрерывна и имеет непрерывные частные производные по переменным х, у и z. Тогда правомерно записать следующее выражение:

 

,

 

где величины e1, e2, e3 – бесконечно малые при .

  Из геометрических соображений очевидно:

 

 

  Таким образом, приведенные выше равенства могут быть представлены следующим образом:

 

;

 

 

 

  Заметим, что величина s является скалярной. Она лишь определяет направление вектора .

  Из этого уравнения следует следующее определение:

 

  Определение: Предел   называется производной функции u(x, y, z) по направлению вектора  в точке с координатами ( x, y, z).

 

  Поясним значение изложенных выше равенств на примере.

 

 

  Пример. Вычислить производную функции z = x2 + y2x в точке А(1, 2) по направлению вектора . В (3, 0).

 

  Решение. Прежде всего необходимо определить координаты вектора .

 

=(3-1; 0-2) = (2; -2) = 2.

Далее определяем модуль этого вектора:

 

=

Находим частные производные функции z в общем виде:

 

Значения этих величин в точке А :

 

Для нахождения направляющих косинусов вектора  производим следующие преобразования:

=

За величину  принимается произвольный вектор, направленный вдоль заданного вектора, т.е. определяющего направление дифференцирования.

Отсюда получаем значения направляющих косинусов вектора :

cosa = cosb = -

 

Окончательно получаем:  - значение производной заданной функции по направлению вектора .

Элементы дискретной математики Элементы математической логики, теории множеств и общей алгебры. Дискретные объекты и структуры в математике. Метод математической индукции. Бинарные и n-арные отношения. Необходимые и достаточные условия. Логические (булевы) переменные. Алгебра логики, функции алгебры логики (булева алгебра, булевы функции). Множества, отображения, мощности. Алгебра множеств. Дизъюнктивные и конъюнктивные нормальные формы. Минимизация булевых функций. Функциональная полнота систем булевых функций. Понятие группы. Абелева группа. Подгруппы. Циклическая группа. Изоморфизмы, автоморфизмы, гомоморфизмы. Кольца, тела и поля.

Суворовская площадь дом 1 на карте

Энергетика

Черчение