Функции, пределы | Производные и дифференциалы | Математический анализ | Интегральное исчисление | Дифференциальное исчисление Компьютерные сети | Передача дискретных данных | Базовые технологии | Архитектура ПК | Pascal учебник | Глобальные сети Среда WEB Язык HTML Построение локальных сетей Главная Задумали строить? Профилированный брус из зимнего леса. | На art-a-fakt.ru роспись стен и потолков.

Линейная и векторная алгебра Аналитическая геометрия Лекции по высшей метематике

Метод Крамера.

(Габриель Крамер (1704-1752) швейцарский математик) Данный метод также применим только в случае систем линейных уравнений, где число переменных совпадает с числом уравнений. Кроме того, необходимо ввести ограничения на коэффициенты системы. Необходимо, чтобы все уравнения были линейно независимы, т.е. ни одно уравнение не являлось бы линейной комбинацией остальных. Для этого необходимо, чтобы определитель матрицы системы не равнялся 0. det A ¹ 0; Действительно, если какое- либо уравнение системы есть линейная комбинация остальных, то если к элементам какой- либо строки прибавить элементы другой, умноженные на какое- либо число, с помощью линейных преобразований можно получить нулевую строку. Определитель в этом случае будет равен нулю.

Теорема. (Правило Крамера): Теорема. Система из n уравнений с n неизвестными в случае, если определитель матрицы системы не равен нулю, имеет единственное решение и это решение находится по формулам: xi = Di/D, где D = det A, а Di – определитель матрицы, получаемой из матрицы системы заменой столбца i столбцом свободных членов bi. Di =  

 

Найти общий интеграл дифференциального уравнения

Пример. A = D1= D2= D3= ; x1 = D1/detA;  x2 = D2/detA; x3 = D3/detA;

 

 Пример. Найти решение системы уравнений: D = = 5(4 – 9) + (2 – 12) – (3 – 8) = -25 – 10 + 5 = -30; D1 =  = (28 – 48) – (42 – 32) = -20 – 10 = -30. x1 = D1/D = 1; D2 =  = 5(28 – 48) – (16 – 56) = -100 + 40 = -60. x2 = D2/D = 2; D3 =  = 5( 32 – 42) + (16 – 56) = -50 – 40 = -90. x3 = D3/D = 3.  Как видно, результат совпадает с результатом, полученным выше матричным методом.  Если система однородна, т.е. bi = 0, то при D¹0 система имеет единственное нулевое решение x1 = x2 = … = xn = 0. При D = 0 система имеет бесконечное множество решений.  Для самостоятельного решения: Ответ: x = 0; y = 0; z = -2.

Амосов А.А., Дубинский Ю.А., Копченова Н.В. Вычислительные методы для инженеров. М., Высшая школа, 1994 (2003). 2. Бахвалов Н.С., Лапин А.В., Чижонков Е.В. Численные методы в задачах и упражнениях. М., Высшая школа, 2000. 3. Бугров Я.С., Никольский С.М. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии. М., Наука, 1984 (Дрофа, 2006). 4. Бугров Я.С., Никольский С.М. Дифференциальное и интегральное исчисление. М., Наука, 1988 (Дрофа, 2007). 5. Бугров Я.С., Никольский С.М. Дифференциальные уравнения. Кратные интегралы. Ряды. ФКП. М., Наука, 1985 (Дрофа, 2005). 6. Бутузов В.Ф., Крутицкая Н.Ч., Медведев Г.Н., Шишкин А.А. Линейная алгебра в вопросах и задачах. М., Наука, Физматлит, 2001.