Векторная алгебра Прямые линии и плоскости Кривые второго порядка
Типовик
Расчет цепей

Физика

Интегралы
На главную

 

Кривизна плоской кривой

Кривизна графика функции

Вершины кривых

Радиус кривизны

Упражнения

Векторная алгебра

Определение вектора

Операции над векторами

Разложение вектора по базису

Линейная зависимость векторов

Система координат и координаты вектора

 

Проекции вектора

Скалярное произведение

Векторное произведение

Выражение векторного произведения через координаты сомножителей

Смешанное произведение

Нахождение координат вектора в произвольном базисе

Прямые линии и плоскости

Уравнение поверхности

Уравнение плоскости

Изображение плоскости

Все коэффициенты и свободный член в уравнении отличны от нуля

Коэффициенты при неизвестных отличны от нуля, а свободный член равен нулю

Один из коэффициентов при неизвестных равен нулю

Два коэффициента при переменных равны нулю

Угол между плоскостями

Расстояние от точки до плоскости

Прямая на плоскости

Прямая в пространстве

Основные задачи на прямую и плоскость

Кривые второго порядка

Окружность

Эллипс

Гипербола

Парабола

Параллельный перенос системы координат

Поверхности второго порядка

Сфера

Эллипсоид

Гиперболоиды

Конус

Параболоиды

Цилиндры

Параллельный перенос системы координат

Так же как и на плоскости, в пространстве можно выполнить параллельный перенос системы координат. Формулы и их доказательства для пространственного случая аналогичны плоскому случаю (пункт 3.5).

Пусть в пространстве заданы две декартовы прямоугольные системы координат: "старая" с началом в точке $ O$ и осями $ Ox$ , $ Oy$ , $ Oz$ и "новая" с началом в точке $ O_1$ и осями $ O_1\tilde x$ , $ O_1\tilde y$ , $ O_1\tilde z$ , причем оси одной системы координат соответствено параллельны осям другой системы и одинаково с ними направлены. Будем говорить, что вторая система координат получена из первой параллельным переносом.

Пусть начало $ O_1$ новой системы координат имеет в старой системе координаты $ (x_1;y_1;z_1)$ . Пусть $ M$  -- некоторая точка пространства с координатами $ (x;y;z)$ в старой системе координат и $ (\tilde x;\tilde y;\tilde z)$  -- в новой системе координат. Тогда связь между "старыми" и "новыми" координатами точки $ M$ задается формулами, аналогичными формулам (12.11):

$\displaystyle \tilde x=x-x_1,\quad\tilde y=y-y_1,\quad\tilde z=z-z_1.$ (13.21)

Справедливо и предложение, аналогичное предложению 12.7.

  Предложение 13.1  Пусть некоторая поверхность задана уравнением

 

$\displaystyle F(x-x_1;y-y_1;z-z_1)=0.$

Тогда в системе координат с началом в точке $ O_1(x_1;y_1;z_1)$ и осями $ O_1\tilde x$ , $ O_1\tilde y$ , $ O_1\tilde z$ , полученной параллельным переносом, уравнение поверхности будет иметь вид $ {F(\tilde x;
\tilde y;\tilde z)=0}$ .    

        Пример 13.2   Нарисуйте поверхность $ 4x^2-y^2+z^2+8x-4y-2z=3$ .

Решение. Выделим полные квадраты по переменным $ x$ , $ y$ и $ z$ (см. пример 12.1):

$\displaystyle 4(x^2+2x+1)-4-(y^2+4y+4)+4+(z^2-2z+1)-1=3.$

Отсюда

 

$\displaystyle 4(x+1)^2-(y+2)^2+(z-1)^2=4.$

Разделим обе части на 4:

 

$\displaystyle \frac{(x+1)^2}{1^2}-\frac{(y+2)^2}{2^2}+\frac{(z-1)^2}{2^2}=1.$

Введем новую систему координат с началом в точке $ O_1(-1;-2;1)$ , получающуюся из старой параллельным переносом. По предложению 13.1 получим, что в новой системе поверхность задается уравнением

Энергетика

Черчение