Функции, пределы, пепрерывность функций и точки разрыва
Функции, пределы | Производные и дифференциалы | Математический анализ | Интегральное исчисление | Дифференциальное исчисление Компьютерные сети | Передача дискретных данных | Базовые технологии | Архитектура ПК | Pascal учебник | Глобальные сети Среда WEB Язык HTML Построение локальных сетей Главная

Теоретическая механика
Начертательная геометрия
Autocad и Компас
Выполнение сечений
Резьбовые изделия
Эскиз детали
Нанесение размеров на чертежах
Сборочные чертежи
Билеты по черчению
Дизайн
Архитектурный стиль в машиностроении
«Веркбунд» и первый дизайнер
Петер Беренс
Эстетические задачи техники

Масштабность среды
(интерьер, экстерьер

История искусства

Петербургская академия художеств
Немецкий ренессанс
Кубофутуризм
Информатика
Архитектура ПК
Информационные процессы
Основы информации
Pascal учебник
Алгоритмы
Защита информации
Архивация данных
Основы в Интернет
Вычислительные сети
Microsoft Access
Microsoft Excel
Microsoft Word
Среда WEB Язык HTML
Windows 2000
Математика
Функции, пределы,
Производная и дифференциал
Матрицы Системы
Прямые линии и плоскости
Производные и дифференциалы
Линейная и векторная алгебра
Математический анализ
Интегральное исчисление
Дифференциальное исчисление
Полный дифференциал
Ряды, степенные ряды
Теории функций ТФКП
Первообразная
Определенные интегралы
Функции нескольких переменных
Компьтерные сети
Локальные сети
Построение локальных сетей
Сетевой уровень
Глобальные сети
Сетевой уровень
Базовые технологии
Ethernet и Fast Ethernet
Пакеты протоколы уровни
Основы передачи
Ядерная физика
Основные характеристики ядер
Радиоактивность
Символическая запись ядерной реакции
Построение векторной диаграммы импульсов
Взаимодействие нейтронов с ядрами
Модели атомных ядер
Ядерные реакции
Физика ядерного реактора
Цепная ядерная реакция
Реактор РБМК – 1000
Эффективная эквивалентная доза
Степень опасности радионуклидов
Электротехника
Расчет электрических цепей
Курсовая по электротехнике
Физика задачи
Трехфазные цепи
Линейные электрические цепи постоянного
и переменного тока
Переходные процессы в электрических цепях
Расчет сложных цепей постоянного тока
Метод узловых потенциалов
Символический метод расчета
электрических цепей
 

 

Введение

  1. Функции и их графики
  2. Пределы


  3. Непрерывность функций и точки разрыва
    • Определение непрерывности функции
    • Определение точек разрыва
    • Свойства функций, непрерывных в точке
    • Непрерывность функции на интервале и на отрезке
    • Равномерная непрерывность
    • Непрерывность обратной функции
    • Гиперболические функции и ареа-функции

      Примеры и упражнения

      Пример 3.17   Пусть функция $ f(x)$ определена на интервале $ (0;4)$ следующим образом:

      $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{ll}
\dfrac{1}{x},&\mbox{ если }x\in(0;...
...x,&\mbox{ если }x\in(2;3];\\
2,&\mbox{ если }x\in(3;4).
\end{array}\right.
$

      Найдём её область непрерывности и точки разрыва.

      Поскольку внутри интервалов $ (0;1)$, $ (1;2)$, $ (2;3)$, $ (3;4)$ функция $ f(x)$ совпадает с ограничениями на эти интервалы элементарных функций $ \dfrac{1}{x}$, $ x^2$, $ 5-x$, 2 соответственно, то все эти интервалы входят в область непрерывности и точек разрыва там нет. Точками разрыва могут оказаться (но не обязательно окажутся!) лишь точки на стыках этих интервалов, то есть точки $ x=1$, $ x=2$, $ x=3$.

      Для выяснения того, непрерывна ли функция в точке $ x=1$, найдём пределы слева и справа:

      $\displaystyle \lim_{x\to1-}f(x)=\lim_{x\to1-}\dfrac{1}{x}=\dfrac{1}{1}=1;$

      $\displaystyle \lim_{x\to1+}f(x)=\lim_{x\to1+}x^2=1^2=1.$

      При этом мы воспользовались тем, что как элементарная функция $ \dfrac{1}{x}$ (с областью определения $ \mathbb{R}\diagdown \{0\}$), так и элементарная функция $ x^2$ (с областью определения $ \mathbb{R}$) имеют $ x=1$ внутренней точкой своих областей определения, непрерывны в этой точке, и значения пределов можно найти прямой подстановкой. Поскольку пределы слева и справа в точке 1 совпали и, кроме того, $ f(1)=\dfrac{1}{1}=1$, то условия непрерывности в точке 1 выполнены; разрыва в этой точке нет.

      Точно так же исследуем функцию на непрерывность в точке $ x=2$. Найдём пределы слева и справа:

      $\displaystyle \lim_{x\to2-}f(x)=\lim_{x\to2-}x^2=2^2=4;$

      $\displaystyle \lim_{x\to2+}f(x)=\lim_{x\to2+}(5-x)=5-2=3.$

      Поскольку пределы слева и справа при $ x\to2$ существуют, но не совпадают, функция имеет разрыв первого рода при $ x=2$.

      Теперь найдём пределы при $ x\to3-$ и $ x\to3+$:

      $\displaystyle \lim_{x\to3-}f(x)=\lim_{x\to3-}(5-x)=5-3=2;$

      $\displaystyle \lim_{x\to3+}f(x)=\lim_{x\to3+}2=2.$

      Здесь пределы слева и справа совпадают между собой и со значением функции в точке 3: $ f(3)=5-3=2$. Значит, $ x=3$ -- точка непрерывности.

      Итак, функция имеет единственную точку разрыва $ x=2$, в которой происходит неустранимый разрыв первого рода; область непрерывности функции состоит из объединения двух интервалов: $ (0;2)\cup(2;4)$.