Трехфазные цепи Линейные электрические цепи постоянного и переменного тока Переходные процессы в электрических цепях Расчет сложных цепей постоянного тока Метод узловых потенциалов

Задачи по электротехнике. Цепи постоянного и переменного тока. Трехфазные цепи

Переходные процессы в электрических цепях

Методы анализа

Переходный процесс возникает непосредственно после скачкообразного изменения параметра электрической цепи. Например, подводимого к электрической цепи напряжения, сопротивления резистора, индуктивности катушки индуктивности, емкости конденсатора и т. п. Чаще всего переходный процесс наступает при срабатывании коммутирующих элементов цепи. При переходных процессах могут возникать большие напряжения и токи, которые могут нарушить работу устройства вплоть до выхода его из строя. С другой стороны, переходные процессы находят полезное практическое применение, например, в различного рода электронных генераторах сигналов. Все это приводит к необходимости изучения методов анализа переходных режимов работы цепи.

Можно назвать следующие основные методы анализа переходных процессов в линейных цепях.

Классический метод  предполагает составление дифференциального уравнения для интервала времени t ≥ 0, который не включает момент скачкообразного изменения параметра цепи. Считается, что в момент времени t = 0 это изменение уже произошло и с этого момент начинается переходный процесс. Решение уравнения осуществляется путем его непосредственного интегрирования при начальных условиях, заданных для t = 0. Этими начальными условиями фактически и определяется характер переходного процесса.

Метод, отличающийся от классического использованием преобразования Лапласа для решения дифференциального уравнения.

Третий метод используется, когда скачкообразно изменяется напряжение или ток некоторого источника на интервале t ≥ 0. Предполагается, что все напряжения и токи в цепи равны нулю при t < 0. Дифференциальное уравнение составляется для интервала времени − ∞ < t < ∞. Для решения уравнения используется преобразование Лапласа.

Четвертый метод используется при скачкообразном изменении напряжения или тока источника на интервале − ∞ < t < ∞. Предполагается, что все напряжения и токи в цепи представляют собой абсолютно интегрируемые функции времени. Дифференциальное уравнение составляется для интервала времени − ∞ < t < ∞. Для решения уравнения используется преобразование Фурье.

В данном разделе рассматривается классический метод анализа переходных процессов, а другие методы будут изложены в последующих двух разделах.

Дифференциальные уравнения

Классический метод анализа переходных процессов заключается в непосредственном решении дифференциального уравнения, описывающего изменение тока или напряжения на участке цепи. При этом используются законы Кирхгофа для мгновенных значений напряжений и токов, а также следующие соотношения, связывающие между собой напряжения uR, uL и uC на R, L и C – элементах и токи iR, iL и iC в этих элементах:

, , .

Здесь R, L и C – сопротивление, индуктивность и емкость R, L и C – элемента и предполагается, что для токов и напряжений на элементах выбраны совпадающие положительные направления. Практически любой переходный процесс можно исследовать, используя в схеме замещения идеальные коммутирующие элементы. При этом наиболее часто используются элементы, приведенные на рис. 3.1. На рис. 3.1 а показан элемент с нормально разомкнутыми контактами, на рис. 3.1 б – элемент с нормально замкнутыми контактами, а на рис. 3.1 в – с переключаемыми контактами. Идеальность этих элементов заключается в том, что сопротивление между разомкнутыми контактами равно бесконечности, а сопротивление между замкнутыми контактами равно нулю.

Пусть задана цепь, схема которой приведена на рис. 3.2. Здесь и далее U – постоянное во времени напряжение. Необходимо составить дифференциальное уравнение, описывающее переходный процесс после замыкания контактов коммутирующего элемента.

Для интервала времени t ≥ 0 (контакты коммутирующего элемента замкнуты) запишем одно уравнение по первому закону Кирхгофа и два уравнения по второму закону Кирхгофа:

,

  , (3.1)

.

Выразим i1 из второго уравнения и uC из третьего и подставим в первое. После несложных преобразований можно получить

 . (3.2)

В общем случае уравнение, описывающее переходный процесс в цепи при t ≥ 0, имеет вид:

  , (3.3)

где х – искомая функция времени (напряжение, ток); f – известная функция времени (ее вид определяется параметрами источника электрической энергии); a1, a2, …, aK, b1, b2, …, bM  – постоянные коэффициенты, определяемые параметрами цепи. Порядок данного уравнения K равен числу L – элементов и C – элементов в упрощенной схеме, получаемой из исходной путем эквивалентного преобразования в один элемент L – элементов, соединенных последовательно, и C – элементов, соединенных параллельно. Как известно из математики, общее решение x уравнения (3.3) представляет собой сумму частного решения исходного неоднородного уравнения xв и общего решения xсв соответствующего однородного уравнения, т.е. x = xв + xсв. Частное решение принято называть вынужденной составляющей решения. Эта составляющая определяется видом функции f  в его правой части. Если f  – постоянная во времени величина или изменяющаяся по синусоидальному закону функция времени, то и вынужденная составляющая ищется в виде постоянной величины или в виде синусоидально изменяющейся функции времени. Вынужденная составляющая в виде постоянной величины легко определяется непосредственно из дифференциального уравнения, поскольку при этом все производные равны нулю. Вынужденная составляющая в виде синусоидальной функции также может быть определена из дифференциального уравнения, однако проще это сделать комплексным или символическим методом.

Вторая составляющая xсв общего решения, называется свободной. Определение свободной составляющей зависит от вида корней характеристического уравнения. Например, если корни p1, p2, …, pk, различные, то

.

Здесь A1, A2,…, Ak – постоянные интегрирования, которые в дальнейшем определяются из начальных условий. Если среди корней имеются пары комплексно сопряженных корней вида pk = δk + jωk, pk+1 = δk - jωk, то каждой такой паре будет соответствовать слагаемое вида .

Необходимо помнить, что, в устойчивой линейной цепи с течением времени свободная составляющая затухает, поэтому вещественные части корней характеристического уравнения не могут быть положительными. При вещественных корнях xсв монотонно затухает, и имеет место апериодический переходный процесс. Наличие пары комплексно сопряженных корней обусловливает появление затухающих синусоидальных колебаний (колебательный переходный процесс). Таким образом, переходный процесс в цепи определяется наложением двух составляющих – вынужденной, возникающей как бы сразу после коммутации, и свободной, имеющей место только в течение переходного процесса. С течением времени свободная составляющая стремится к нулю, переходный процесс заканчивается и наступает установившийся режим работы цепи, характеризующийся наличием только вынужденной составляющей.

Начальные условия. Законы коммутации

В общее решение уравнения (3.3) входят постоянные интегрирования, число которых равно порядку дифференциального уравнения. Постоянные интегрирования находятся из начальных условий, которые принято делить на независимые и зависимые. К независимым начальным условиям относятся токи в L – элементах и напряжения на C – элементах в момент времени t = 0 (момент коммутации). Независимые начальные условия определяются на основании законов коммутации исходя из значений токов в L – элементах и напряжений на C – элементах в момент времени, непосредственно предшествующий коммутации, t = 0 – .

Первый закон коммутации – ток в L – элементе в момент коммутации iL(0) сохраняет значение до коммутации iL(0 –), т. е. iL(0) = iL(0 –).

Второй закон коммутации – напряжение на C-элементе в момент коммутации uC(0) сохраняет свое значение до коммутации uC(0 –), т. е uC(0) = uC(0 –)

Зависимыми начальными условиями называются значения остальных токов и напряжений и их производных  в момент коммутации. Эти начальные условия определяются по независимым начальным условиям при помощи уравнений, составляемых по законам Кирхгофа для t = 0. Необходимое число начальных условий равно числу постоянных интегрирования. Поскольку уравнение вида (3.3) рационально записывать для переменной, начальное значение которой относится к независимым начальным условиям, задача нахождения начальных условий обычно сводится к нахождению значений этой переменной и ее производных до (K-1) порядка включительно при t = 0.

Пусть для уравнения (3.2) требуется определить начальные условия: i(0) и . Будем считать до коммутации uC(0 –) = 0 и в цепи имел место установившийся режим, тогда . В соответствии с законами коммутации uC(0) = uC(0 –) = 0 и . Тогда из третьего уравнения системы (3.1) .

Задача 2.3

Катушка с активным сопротивлением R=10 Ом, индуктивностью L=0,05 Гн подключена к источнику синусоидального напряжения, действующее значение которого U=120 В, а частота f=50 Гц [9].

Определить полное сопротивление катушки, ток и сдвиг фаз между напряжением и током. Чему равна активная, реактивная и полная мощности? Вычислить активную и реактивную составляющие напряжения на зажимах катушки. Чему равна ЭДС самоиндукции, наводимая в катушке? Построить векторную диаграмму напряжений и тока.

Решение

Индуктивное сопротивление

 Ом.

Полное сопротивление

 Ом,

.

Ток в цепи

  А.

Мощности:

 Вт,

 вар,

 ВА.

Активная и реактивная составляющие напряжения на зажимах катушки:

 В,

 В.

ЭДС самоиндукции, наводимая в катушке:

 В.

Векторная диаграмма приведена на рис. 2.8.

Последовательное соединение резистора, индуктивной катушки и конденсатора Обычно индуктивная катушка и конденсатор имеют потери, поэтому схема замещения последовательно соединенных катушки и конденсатора состоит из двухполюсника с последовательным соединением элементов R, L и С,

Электрическая цепь с реальной индуктивной катушкой

Мощность индуктивной катушки

Замыкание цепи, содержащей R и L – элементы Такие процессы имеют место, например, при подключении к источнику питания электромагнитов, трансформаторов, электрических двигателей и т. п

Амплитудно-частотная и фазо-частотная характеристики

Применение преобразования Лапласа Оригиналы и изображения

Представление периодических сигналов рядом Фурье

Частотные характеристики непериодических сигналов Рассмотрим сначала непериодический сигнал f(t), все ненулевые значения которого сосредоточены на определенном интервале времени T, а за пределами этого интервала сигнал имеет нулевые значения.

Комплексная передаточная функция


Расчет электрических цепей