Трехфазные цепи Линейные электрические цепи постоянного и переменного тока Переходные процессы в электрических цепях Расчет сложных цепей постоянного тока Метод узловых потенциалов

Задачи по электротехнике. Цепи постоянного и переменного тока. Трехфазные цепи

Законы Кирхгофа для линейных электрических цепей

Сложная электрическая цепь характеризуется следующими понятиями: ветвь, узел, контур.

Ветвь – участок электрической цепи, по которому протекает один и тот же ток.

Узел – место соединения не менее трех ветвей электрической цепи.

Контур – замкнутый путь, проходящий по ветвям электрической цепи.

Первый закон Кирхгофа. Алгебраическая сумма токов ветвей, сходящихся в узле, равна нулю:

 . (1.4)

Для электрической цепи, содержащей y узлов, по первому закону Кирхгофа составляется y – 1 независимых уравнений для любых выбранных y – 1 узлов. Для последнего узла уравнение является зависимым, т. е. его можно получить из предыдущих уравнений. Направление токов в ветвях цепи выбирают произвольно; токи, направленные к узлу, берут с одним знаком, например плюс (+), а токи, направленные от узла, – с другим знаком, например, минус (–).

Первый закон Кирхгофа является следствием непрерывности тока и неизменности зарядов в узлах электрической цепи.

Второй закон Кирхгофа. Алгебраическая сумма напряжений на резистивных элементах замкнутого контура равна алгебраической сумме ЭДС в этом контуре:

 . (1.5)

В каждом контуре произвольно выбирают направление обхода контура. Напряжения и ЭДС в уравнении (1.5) берут с положительным знаком, если направление напряжений, ЭДС и токов совпадает с направлением обхода контура.

При расчете электрической цепи число неизвестных токов равно числу ветвей в цепи b. Составив по первому закону Кирхгофа y – 1 уравнение, по второму закону Кирхгофа остается составить k = b – y + 1 уравнений (по числу независимых контуров). Независимыми контурами называются такие контура, в которые входит хотя бы одна ветвь, не входящая в предыдущие контура.

При определении числа ветвей b не учитывают ветви с R = 0, а ветви с одним и тем же током принимают за одну ветвь. При определении числа узлов y учитывают только те узлы, в которых сходится более чем две ветви, а ветви с сопротивлением R = 0 включают в состав узла.

Пример. Для электрической цепи рис. 1.5 записать уравнения по законам Кирхгофа.

Электрическая цепь содержит 6 ветвей, 3 узла. Направления токов в ветвях выбрано произвольными. Всего требуется записать 6 независимых уравнений для определения токов во всех ветвях. Для двух любых узлов, например, 1 и 3, по первому закону Кирхгофа составляем два уравнения. Втекающие в узел токи возьмем со знаком плюс.

Для узла 1: –I1 + I2 – I3 – I5 + I6 = 0.

Для узла 3: –I4 + I5 – I6 = 0.

По второму закону Кирхгофа для 4 независимых контуров запишем уравнения. Направление обхода контуров выберем по часовой стрелке. В электрической цепи можно выделить 4 независимых контура, например: 1-й контур – E1 – R1 – R2 – R3, 2-й контур – R3 – R4 – E2, 3-й контур – E2 – R4 – R5 – E3 – R2, 4-й контур – R7 – E4 – R6.

Для 1 – го контура: (R1 + R2) ∙ I1 + R3 ∙ I2 = E1.

Для 2 – го контура: – R3 ∙ I2 – R3 ∙ I3 = E2.

Для 3 – го контура: R4 ∙ I3 – R5 ∙ I4 – R7 ∙ I5 = – E2 + E3.

Для 4 – го контура: R7 ∙ I5 + R6 ∙ I6 = E4

При вычислении токов в ветвях электрической цепи удобнее пользоваться матричной формой записи уравнений Кирхгофа:

 A ∙ I = B ∙ E,  (1.6)

где A,B – квадратные матрицы коэффициентов при токах и напряжениях порядка b×b; I,E – матрицы – столбцы неизвестных токов и заданных ЭДС.

Элементами матрицы А являются коэффициенты при токах в левой части уравнений, составленных по первому и второму законам Кирхгофа. Первые y – 1 строк матрицы А содержат коэффициенты при токах в уравнениях, составленных по первому закону Кирхгофа, и имеют элементы +1, –1, 0 в зависимости от того, с каким знаком входит данный ток в уравнение.

Элементы следующих b – y + 1строк матрицы А равны значениям сопротивлений при соответствующих токах в уравнениях, составленных по второму закону Кирхгофа, с соответствующим знаком.

Элементы матрицы В равны коэффициентам при ЭДС в правой части уравнений, составленных по законам Кирхгофа. Первые y – 1 строк матрицы имеют нулевые элементы, так как ЭДС в правой части уравнений, записанных по первому закону Кирхгофа, отсутствуют. Остальные b – y + 1 строки содержат элементы +1, –1 в зависимости от того, с каким знаком входит ЭДС в уравнение, и 0, если ЭДС в уравнение не входит.

Общее решение уравнений, составленных по законам Кирхгофа:


 I = (A-1B)∙E = GE  (1.7)

где G = A-1B – матрица проводимостей;

  (1.8)

Токи в каждой ветви:

   (1.9)

Пример. Для схемы рис. 1.5 записать уравнения по законам Кирхгофа в матричной форме записи. По первому закону Кирхгофа составлены два уравнения для узлов 1 и 3

– I1 + I2 – I3 – I5 + I6 = 0; – I4 + I5 – I6 = 0.

По второму закону Кирхгофа записываются 4 уравнения для контуров

(R1 + R2) ∙ I1 + R3 ∙ I2 = E1; – R3 ∙ I2 – R3 ∙ I3 = E2; R4 ∙ I3 – R5 ∙ I4 – R7 ∙ I5 = – E2 + E3; R7 ∙ I5 + R6 ∙ I6 = E4

В матричной форме записи

A ∙ I = B ∙ E,

где

; ;

.

Независимые источники могут быть идеальные и реальные.

Идеальный источник электродвижущей силы характеризуется напряжением Uab, которое не зависит от тока I, и электродвижущей силой Е (обозначения положительных направлений напряжения и тока показаны на рис. 1.1б):

. (1.3)

Внутреннее сопротивление идеального источника ЭДС равно нулю. Реальный источник электродвижущей силы имеет внутреннее сопротивление. Он может быть изображен в виде последовательной схемы, содержащей ЭДС Е и внутреннее сопротивление R (на рис. 1.1в показаны положительные направления Е и Uab).

Идеальный источник тока. Ток J источника тока не зависит от напряжения Uab (внутренняя проводимость источника тока равна нулю, сопротивление источника тока бесконечно велико).

Идеальный и реальный источники тока (с внутренней проводимостью ) приведены на рис. 1.1г, д.


Переход от схемы источника электродвижущей силы к эквивалентной схеме источника тока осуществляется по формулам:

  (1.4)

Асинхронный электродвигатель является основным видом электродвигателей, выпускаемых электротехнической промышленностью. Своей простотой, надежностью, относительной дешевизной он завоевал преимущественное  распространение по сравнению с другими видами электроприводов и находит применение во всех отраслях народного хозяйства.

ТРАНСФОРМАТОРЫ НАЗНАЧЕНИЕ ТРАНСФОРМАТОРОВ Трансформатором называется статический электромагнитный аппарат, предназначенный для преобразования переменных напряжений и токов неизменной частоту при передаче электроэнергии от источника к потребителю.

Общая характеристика электрических цепей Электромагнитные процессы, протекающие в электротехнических устройствах, как правило, достаточно сложны. Однако во многих случаях, их основные характеристики можно описать с помощью таких интегральных понятий, как: электрическое напряжение u, ток i, заряд q, магнитный поток Ф и электродвижущая сила (ЭДС).

Напряжение на участке цепи Под напряжением на некотором участке электрической цепи понимают разность потенциалов между крайними точками этого участка.

Методы расчета электрических цепей Метод контурных токов Уравнения Кирхгофа позволяют рассчитать электрическую любую цепь, но при этом число решаемых уравнений может быть велико. Для сокращения числа решаемых уравнений рационализируют составление и решение уравнений Кирхгофа, применяя для расчета метод контурных токов, узловых потенциалов

Метод эквивалентного генератора (активного двухполюсника) В любой электрической схеме всегда можно мысленно выделить какую-то ветвь, а всю остальную часть схемы независимо от ее структуры и сложности изобразить некоторым прямоугольником. По отношению к выделенной ветви вся схема, обозначенная прямоугольником, представляет собой так называемый двухполюсник.

Линейные электрические цепи синусоидального тока

Активные и реактивные составляющие проводимости и тока

Основные величины, характеризующие синусоидальные величины функции времени

Основные элементы и параметры электрической цепи синусоидального тока

Электрическая цепь с идеальной индуктивной катушкой

Электрическая цепь с идеальным конденсатором


Расчет электрических цепей