Трехфазные цепи Линейные электрические цепи постоянного и переменного тока Переходные процессы в электрических цепях Расчет сложных цепей постоянного тока Метод узловых потенциалов

Задачи по электротехнике. Цепи постоянного и переменного тока. Трехфазные цепи

Комплексная передаточная функция

Рассмотрим сначала важное свойство, на основании которого преобразование Фурье используется при анализе электрических цепей. Пусть  и F1(jω) – преобразование Фурье сигнала f1(t), тогда

 F(jω) = (jω)kF1(jω) (5.10)

Как уже указывалось выше, часто приходится анализировать цепи, обобщенная схема которых представлена на рис. 5.7.

Здесь uвх и uвых – входное и выходное напряжения на некоторых выводах цепи, которые удовлетворяют условию абсолютной интегрируемости, а зависимость между ними описывается уравнением вида (3.3):

  . (5.11)

Осуществим преобразование Фурье обеих частей уравнения (5.11), получим

a0(jω)KUвых(jω) + a1(jω)K–1Uвых(jω) + ... + aК–1jωUвых(jω) + aКUвых(jω)=

=b0(jω)МUвх(jω) + b1(jω)М–1Uвх(jω) + ... + bМ–1jωUвх(jω) + bМUвх(jω).

Отсюда

.

Обозначим

  , (5.12)

Тогда Uвых(jω) = W(jω)Uвх(jω). W(jω) называется комплексной передаточной функцией цепи.

Как следует из (5.12), передаточная функция зависит только от параметров элементов цепи. Она может быть найдена, исходя из дифференциального уравнения цепи. Если известна передаточная функция цепи, то можно найти выходную величину при заданной входной. Для этого необходимо найти преобразование Фурье входного сигнала, например Uвх(jω), затем определить преобразование Фурье выходного сигнала Uвых(jω) = W(jω)Uвх(jω), а затем определить выходной сигнал uвых(t), выполнив обратное преобразование Фурье над Uвых(jω).

Если для входного периодического сигнала uвх по формуле (5.3) определен комплексный спектр Uвх[nΩ]. Тогда нетрудно показать, что при известной комплексной передаточной функции цепи W(jω) комплексный спектр выходного периодического сигнала  и по формуле (5.2) можно определить выходной периодический сигнал uвых.

Комплексная схема замещения

Комплексная передаточная функция может быть найдена с использованием так называемой комплексной схемы замещения. В такой схеме вместо ЭДС, напряжений и токов используются их преобразования Фурье, которые будем называть комплексными ЭДС, напряжениями и токами. Кроме того, вводится понятие Z – элемента и комплексного сопротивления Z(jω) этого элемента. Связь между комплексным током I(jω) и напряжением U(jω) на Z – элементе с операторным сопротивлением Z(jω) определяется законом Ома в комплексной форме:U(jω) = Z(jω)I(jω).

Замещение L – элемента при переходе к комплексной схеме поясняется рис. 5.8. Поскольку , то на основании (5.10) . Величину Z(jω) = jωI принято называть операторным сопротивлением L – элемента. На рис. 5.8 а показан участок исходной схемы с L – элементом, а на рис. 5.8 б – соответствующий участок комплексной схемы.

Замещение С-элемента при переходе к комплексной схеме поясняется рис. 5.9. Поскольку , то на основании (5.10) IC(jω) = jωCUC(jω), откуда . Величину  принято называть комплексным сопротивлением C-элемента. На рис. 5.9 а показан участок исходной схемы с C-элементом, а на рис. 5.9 б – соответствующий участок комплексной схемы.

Замещение R-элемента при переходе к комплексной схеме поясняет рис. 5.10. Поскольку uR = RiR, то UR(jω) = RIR(jω). Величину Z(jω) = R назовем комплексным сопротивлением R – элемента. На рис. 5.10 а показан участок исходной схемы с R – элементом, а на рис. 5.10 б – соответствующий участок комплексной схемы.

Для комплексных схем справедливы законы Кирхгофа в комплексной форме. Первый закон Кирхгофа: алгебраическая сумма комплексных токов, связанных с узлом, равна нулю. Второй закон Кирхгофа: алгебраическая сумма комплексных ЭДС, действующих в контуре, равна алгебраической сумме комплексных напряжений на элементах этого контура. Рассмотрим схему цепи на рис. 5.11.

По второму закону Кирхгофа uC + uвых = ивх. Продифференцируем обе части уравнения и имея в виду, что , нетрудно получить дифференциальное уравнение для этой цепи в виде

.

Осуществим преобразование Фурье обеих частей этого уравнения, получим , отсюда , и комплексная передаточная функция цепи

.

Определим теперь комплексную передаточную функцию путем перехода к комплексной схеме замещения, показанной на рис. 5.12.

Для этой схемы

, , тогда комплексная передаточная функция . Используя эту комплексную передаточную функцию, определим реакцию цепи при воздействии на ее вход импульса, изображенного на рис. 5.13.

Найдем сначала спектральную плотность этого сигнала, воспользовавшись (5.9), тогда

.

Представим полученную выше комплексную передаточную функцию в виде

.

Спектральная плотность выходного сигнала

. Вос

пользовавшись обратным преобразованием Фурье (5.6) или (5.8), можно определить выходной сигнал . Графически этот сигнал показан на рис. 5.14 при tu = 5RC.

По реакции цепи при воздействии на ее вход импульса, изображенного на рис. 5.13. удобно исследовать переходный процесс в цепи. Отметим также, что комплексную передаточную функцию вида (5.11) формально можно получить, подставив в (4.3) вместо p выражение jw.

Комплексные выражения синусоидальной функции времени, ее производной и интеграла приведены в табл. 2.1.

Соответствующие комплексные амплитуды запишем так:

  (2.4)

Таблица 2.1

Временная и комплексная записи

Функция

Производная функции

Интеграл от функции

Запись во временной области

Комплексная функция

времени

Комплексная амплитуда

Комплексное действующее значение

Согласно ГОСТу любое комплексное значение обозначается соответствующей буквой с чертой под ней, например , . Однако для величин, изменяющихся с течением времени синусоидально, разрешается комплексные величины обозначать с точкой над соответствующей буквой, таковы , напряжение , ток . Так что такие записи эквивалентны: , , .


Расчет электрических цепей