Autocad
Информатика
Курсовой
Типовик
Начертательная геометрия
Математика
Электротехника
Расчет цепей

Физика

Сборочные чертежи
Искусство
Интегралы
Термех
Билеты
Эскиз детали
На главную

Задачи по электротехнике. Цепи постоянного и переменного тока. Трехфазные цепи

Частотные характеристики непериодических сигналов

Рассмотрим сначала непериодический сигнал f(t), все ненулевые значения которого сосредоточены на определенном интервале времени T, а за пределами этого интервала сигнал имеет нулевые значения. Такой сигнал может быть получен из периодического сигнала с периодом T при T → ∞. Например, непериодический сигнал в виде прямоугольного импульса, изображенный на рис. 5.4 можно получить из периодического сигнала на рис. 5.1 при T → ∞.

 

Используя этот прием, можно определить частотные характеристики непериодических сигналов, исходя из характеристик периодических сигналов. При увеличении периода составляющие амплитудного спектра уменьшаются, а число их на заданном частотном интервале увеличивается. Для периодического сигнала, подставив (5.3) в (5.2) получим

.

Учитывая, что  и что пределы интегрирования можно выбирать в определенной степени произвольно (необходимо только, чтобы интервал интегрирования был равен T)

.

При T → ∞ суммирование может быть заменено интегрированием. При этом величина nΩ заменяется на непрерывную частоту ω, а Ω заменяется на dω. Тогда последнее выражение можно записать в виде

  (5.4)

Внутренний интеграл в данном выражении пропорционален комплексному коэффициенту (5.2) при T → ∞. По его значениям при различных частотах ω можно судить о соотношении составляющих комплексного спектра. Обозначим этот интеграл

  (5.5)

Эта формула представляет собой преобразование Фурье сигнала f(t). При частотном анализе сигнала величину F(jω) принято называть спектральной плотностью сигнала. Как известно, преобразование Фурье (5.5) существует, если сигнал f(t) удовлетворяет условию абсолютной интегрируемости. В общем случае спектральная плотность является комплексной величиной. Ее модуль называется амплитудной характеристикой сигнала F(ω) = |F(jω)|, а аргумент a(ω) = argF(jω) – фазовой характеристикой сигнала.

Обратное преобразование Фурье позволяет по спектральной плотности определить сигнал:

  (5.6)

Это выражение получается из (5.4), если заменить внутренний интеграл в соответствии с (5.5).

В общем случае спектральная плотность сигнала – величина комплексная и ее можно представить в виде

  F(jω) = F1(ω) + jF2(ω) (5.7)

где на основании (5.5),

 , .

Имея в виду, что F1(ω) – четная, а F2(ω) – нечетная функция частоты, (5.6) можно записать в виде

 . (5.8)

В ряде случаев вычисления по формулам (5.7) и (5.8) оказываются проще, чем по формулам (5.5) и (5.6).

В качестве примера определим спектральную плотность сигнала, изображенного на рисунке 5.4. Используя (5.5), получим

.

Несложные преобразования последнего выражения позволяют получить

 . (5.9)

Тогда

, .

Заметим, что правая часть равенства (5.9) легко получается с помощью (5.7). Графически зависимости F(ω) и a(w) показаны на рис. 5.5 и 5.6 соответственно.

5.4 Полоса частот, занимаемая непериодическим сигналом

Определим величину . Если сигнал представляет собой ток или напряжение, то эта величина прямо пропорциональна энергии сигнала. Используя (5.6) и меняя порядок интегрирования, можно получить

.

Имея в виду, что , где  - величина комплексно сопряженная F(jω), будем иметь

.

Практической шириной полосы частот, занимаемой непериодическим сигналом, считают полосу Δ, в которой сосредоточена определенная часть энергии сигнала, например, 90%.Δ = ω2 – ω1, где ω1 и ω2 – нижняя и верхняя частоты полосы. Указанные частоты могут быть выбраны в значительной степени произвольно. Пусть ω1 = 0,тогдаΔ = ω2, а величина ω2 определится с помощью следующего равенства:

.

При этом определяется такое значение ω2, при котором выполняется это равенство.

Для примера, определим полосу частот, занимаемую сигналом, изображенным на рис. 5.4. В этом случае . Если для этого же сигнала определить полосу частот, в которой сосредоточено 99% энергии, то .

Действующие и средние значения синусоидальных величин:

  (2.2)

3. Изображение синусоидальной функции комплексным числом.

В курсе теории линейных электрических цепей используются следующие формы записи комплексного числа:

алгебраическая ;

показательная ; (2.3)

тригонометрическая ,

здесь   – модуль комплексного числа;

  – аргумент комплексного числа;

  – действительная часть комплексного числа;

  – мнимая часть комплексного числа.

Алгебраическая форма удобна при сложении и вычитании комплексных чисел, а показательная – при умножении, делении, возведении в степень, извлечении корня.


Энергетика

Начертательная геометрия
Физика
Черчение
Лабораторные работы
Информатика
Электротехника