Трехфазные цепи Линейные электрические цепи постоянного и переменного тока Переходные процессы в электрических цепях Расчет сложных цепей постоянного тока Метод узловых потенциалов

Задачи по электротехнике. Цепи постоянного и переменного тока. Трехфазные цепи

Применение преобразования Лапласа

Оригиналы и изображения

Пусть f(t) – функция времени задана при t ≥ 0 и равна нулю при , возрастает не быстрее показательной функции, т. е. . Здесь M и c0 – некоторые постоянные, положительные и действительные числа. Тогда путем преобразования Лапласа функции f(t) может  быть найдена функция F(p) комплексной переменной p. При этом функция f(t) называется оригиналом, а F(p) – изображением. По изображению с помощью обратного преобразования Лапласа может быть найден оригинал. В сокращенной записи соответствие между изображением и оригиналом обозначается, как F(p) = L{f(t)}, f(t) = L-1{F(p)}.

Рассмотрим важное свойство, на основании которого преобразование Лапласа используется при анализе электрических цепей. Пусть  и , тогда

 F(p) = L{f(t)} = pF1(p) – f1(0)  (4.1)

Пользуясь этим свойством, можно определить изображение производной любого порядка. Например, если  иF1(p) = L{f(t)} тогда

.

В приведенных выше выражениях начальные значения функции и ее производных могут определяться при t = 0 или при t = 0 – в зависимости от конкретного применения.

Решение дифференциальных уравнений

Здесь рассмотрим применение преобразования Лапласа для решения дифференциального уравнения, которое составлено для классического анализа переходного процесса. Проведем это на примере уравнения (3.4). Осуществим преобразование Лапласа обеих частей этого уравнения, получим с учетом (4.1)

. Правая полученного уравнения – преобразование Лапласа от функции, равной U при t ≥ 0. Из этого уравнения

. Тогда оригинал

, что совпадает с (3.5).

Операторная схема замещения

Составление дифференциального уравнения и определение зависимых начальных условий для схемы, используемой при анализе переходного процесса классическим методом, можно избежать, если от этой схемы перейти по определенным правилам к так называемой операторной схеме замещения. В операторной схеме вместо ЭДС, напряжений и токов используются их изображения по Лапласу. Кроме того, вводится понятие Z – элемента и операторного сопротивления Z(p) этого элемента. Связь между изображением тока I(p) и изображением напряжения U(p) на Z – элементе с операторным сопротивлением Z(p) определяется законом Ома в операторной форме: U(p) = Z(p)I(p).

Замещение L – элемента при переходе к операторной схеме осуществляется исходя из следующего. Поскольку , то на основании (4.1) UL(p) = LpIL(p) – LiL(0). Величину Z(p) = L(p) принято называть операторным сопротивлением L – элемента. Рис. 4.1 поясняет указанное замещение. На рис. 4.1,а показан участок исходной схемы с L – элементом, а на рис. 4.1 б – соответствующий участок операторной схемы

Таким образом, L – элементу на исходной схеме соответствуют два последовательно соединенные элемента: Z – элемент с операторным сопротивлением Z(p) = Lp и источник э.д.с., изображение которой E(p) = Li(0).

Замещение С – элемента при переходе к операторной схеме осуществляется исходя из следующего. Поскольку , то на основании (4.1) LC(p) = CpUC(p) – CuC(0), откуда . Величину  принято называть операторным сопротивлением C – элемента. Рис. 4.2 поясняет указанное замещение. На рис. 4.2 а показан участок исходной схемы с C – элементом, а на рис. 4.2 б – соответствующий участок операторной схемы.

Таким образом, C – элементу на исходной схеме соответствуют два последовательно соединенные элемента: Z – элемент с операторным сопротивлением  и источник ЭДС, изображение которой .

Замещение R – элемента при переходе к операторной схеме осуществляется исходя из следующего. Поскольку uR = RiR, то UR(p) = RIR(p). Величину Z(p) = R назовем операторным сопротивлением R – элемента. Рис. 4.3 поясняет указанное замещение. На рис. 4.3,а показан участок исходной схемы с R – элементом, а на рис. 4.3 б – соответствующий участок операторной схемы. Таким образом, R – элементу на исходной схеме соответствует Z – элемент с операторным сопротивлением .

Для операторных схем справедливы законы Кирхгофа в операторной форме. Первый закон Кирхгофа: алгебраическая сумма изображений токов, связанных с узлом, равна нулю. Второй закон Кирхгофа: алгебраическая сумма изображений ЭДС, действующих в контуре, равна алгебраической сумме изображений напряжений на элементах этого контура.

Рассмотрим использование метода на примере анализа переходного процесса в схеме, приведенной на рис. 3.7, при переключении контактов коммутирующего элемента из нижнего положения в верхнее. Операторная схема для этого случая приведена на рис. 4.4.

По второму закону Кирхгофа можно записать следующие два уравнения:

,

.

Тогда из первого уравнения . Подставляя это выражение во второе уравнение получим

.

Найдем оригинал

,

что совпадает с (3.5).

Передаточная функция

Часто приходится анализировать цепи, обобщенная схема которых представлена на рис. 4.5 и для которых заданы нулевые независимые начальные условия.

Здесь uвх и uвых – входное и выходное напряжения на некоторых выводах цепи, причем зависимость между ними при – ∞ < t < ∞ описывается уравнением вида (3.3):

  . (4.2)

Кроме того, uвх = 0 и uвых = 0 при t < 0. Начальные условия для напряжений и их производных задаются при t = 0 – поэтому все они оказываются нулевыми. В общем случае анализ таких цепей заключается в определении выходного напряжения при заданном входном. В частности таким образом может быть проанализирован переходный процесс, связанный со скачкообразным изменением входного напряжения.

Осуществим преобразование Лапласа обеих частей уравнения (4.2) с учетом (4.1), получим

а0рKUвых(p) + a1pK–1Uвых(p) + ... + aК–1pUвых(p) + aКUвых(p)=

=b0рМUвх(p) + b1pМ–1Uвх(p) + ... + bМ–1pUвх(p) + bМUвх(p).

Отсюда

,

где

   (4.3)

называется передаточной функцией цепи. Необходимо отметить, что входными и выходными величинами могут быть не только напряжения на некоторых выводах цепи, но и токи в элементах этой цепи. Более того, входной величиной может быть ток, а выходной – напряжение и наоборот.

Входную величину часто называют входным воздействием или входным сигналом, а выходную – реакцией цепи на некоторое входное воздействие или выходным сигналом.

Как следует из (4.3), передаточная функция зависит только от параметров элементов цепи. Она может быть найдена, исходя из дифференциального уравнения цепи или из операторной схемы замещения. Если известна передаточная функция цепи, то можно найти выходную величину при заданной входной. Для этого необходимо найти изображение входной величины, например Uвх(p) = L{uвх(t)}, затем определить изображение выходной величины Uвых(р) = W(p)Uвх(р) и ее оригинал

uвых(t) = L-1{Uвых(p)}.

Существует типовая характеристика, по которой можно судить о характере переходных процессов в цепи. Она называется переходной характеристикой цепи. Переходная характеристика h(t) представляет собой реакцию цепи на входное воздействие в виде единичной ступенчатой функции 1(t). По определению 1(t) = 0 при t < 0; 1(t) = 1 при t ≥ 0. Поскольку , изображение переходной характеристики , переходная характеристика.

Для примера, определим передаточную функцию и переходную характеристику цепи, схема которой приведена на рис. 4.6.

На основании второго закона Кирхгофа .

Подставив в это уравнение значение тока через C – элемент , получим линейное дифференциальное уравнение второго порядка относительно uвых :

.

Выполним над обеими частями этого уравнения преобразование Лапласа, имея в виду, что все начальные условия задаются при t = 0 – и равны нулю. Получим LCp2Uвых(P) + RCpUвых (p) + Uвых(p) = Uвх(p). Определим из этого выражения Uвых(p): , откуда следует, что

.

Как указывалось выше, выражение для передаточной функции может быть получено путем анализа операторной схемы замещения, которая в данном случае имеет вид, показанный на рис. 4.7.

Анализируя эту схему, нетрудно получить, что

,

, откуда

,

где  – коэффициент затухания; – резонансная частота.

Определим переходную характеристику цепи. Изображение этой характеристики

,

где  – корни уравнения . Используя таблицы преобразования Лапласа нетрудно определить оригинал

.

При δ > ωр корни p1 и p2 различные и отрицательные, переходная характеристика носит апериодический характер и имеет вид, изображенный на рис. 4.8.

При δ < ωр корни комплексно сопряженные: p1 = –δ + jω0, p2 = –δ – jω0, где – угловая частота собственных колебаний. Переходная характеристика носит колебательный характер:

. Графически ее можно представить в виде, приведенном на рис. 4.9.

4.5 Особенности анализа переходных процессов

Рассмотрим электрическую цепь, изображенную на рис. 4.10.

Пусть необходимо определить напряжение uR при замыкании коммутирующего элемента. Составим дифференциальное уравнение, описывающее переходный процесс, относительно uR. По второму закону Кирхгофа после замыкания коммутирующего элемента, т. е. для t ³ 0, можно записать иС + иR = u. Продифференцируем обе части уравнения, получим . Имея в виду, что , окончательно

  (4.4)

Будем считать, что u = U и uC(0) = uC(0 –) = 0. Тогда уравнение (4.4) примет вид,

а начальное условие uR(0) = U. Нетрудно получить решение этого уравнения в виде .

Теперь найдем решение уравнения (4.4) с помощью преобразования Лапласа, для чего осуществим это преобразование над обеими частями уравнения, тогда . Поскольку , из приведенного уравнения можно получить . Выполнив обратное преобразование Лапласа, находим .

Определить uR можно путем перехода к операторной схеме замещения. Поскольку uC(0) = 0, эта схема будет иметь вид, показанный на рис. 4.11.

Имея в виду, что u = U, , нетрудно получить

,. Далее найдем оригинал .

Рассмотрим далее цепь, схема которой приведена на рис. 4.12. Здесь uвх = 0 и uвых = 0 при t < 0.

По второму закону Кирхгофа иС + ивых = uвх. Продифференцируем обе части уравнения и имея в виду, что , нетрудно получить дифференциальное уравнение для этой цепи в виде.

  (4.5)

За начальные условия при анализе цепи примем значения напряжений при t = 0 –. Кроме того, будем считать, что независимое начальное условие uC(0 –) = 0. Тогда uвых(0 –) = 0 Определим передаточную функцию этой цепи, для этого осуществим преобразование Лапласа обеих частей приведенного уравнения с учетом (4.1). Получим

, отсюда , и передаточная функция цепи .

Передаточная функция может быть найдена путем анализа операторной схемы замещения, которая в данном с учетом нулевых независимых начальных условий будет иметь вид, показанный на рис. 4.13.

Для этой схемы

, , отсюда передаточная функция . Используя передаточную функцию, определим uвых при uвх = U1(t). При этом

, .

Изложенное выше позволяет отметить следующие особенности анализа переходных процессов.

При анализе переходного процесса в схеме на рис. 4.10 с коммутирующим элементом дифференциальное уравнение (4.4) составлено для t ³ 0, т. е. для интервала времени, на котором отсутствуют скачкообразные изменения напряжений и токов на элементах. Для решения такого уравнения должны быть предварительно определены как независимые, так и зависимые начальные условия при t = 0. Если анализ проводится путем перехода к операторной схеме замещения, показанной на рис. 4.11, то предварительно должны быть определены только независимые начальные условия при t = 0. Результат анализа в любом случае определен при t ³ 0.

При анализе переходного процесса в схеме на рис. 4.12 без коммутирующего элемента дифференциальное уравнение (4.5) составлено для всего интервала времени, на котором определены входные и выходные сигналы, т. е. для – ¥ < t < ¥, который включает моменты скачкообразного изменения напряжений и токов на элементах. Для решения такого уравнения должны быть предварительно определены как независимые, так и зависимые начальные условия при t = 0 –, которые в данном случае равны нулю. Анализ может быть проведен с использованием передаточной функции. Результат анализа определен при – ¥ < t < ¥.

4.6 Вопросы и задания для самопроверки

Получите изображения по Лапласу для сигнала в виде прямоугольного импульса, синусоидального импульса.

Как на практике осуществляется переход от оригинала к изображению и обратный переход?

Как используется преобразование Лапласа при решении дифференциального уравнения, описывающего переходный процесс?

Что такое операторная схема замещения?

Для каких цепей и как вводится понятие передаточной функции?

Определите передаточные функции цепи, состоящей из последовательно соединенных R – и L – элементов (R – и C – элементов) исходя из дифференциального уравнения.

Выполните предыдущее задание исходя из операторной схемы замещения.

В цепи (рис. 2.11) R=5 Ом, L=27,5 мГн,  В.

Определить i(t), p(t), pR(t), pL(t).

Решение

В рассматриваемой цепи

 Ом,

 Ом,

,

тогда

,

мгновенное значение тока

.

Мгновенная мощность источника

,

мгновенная мощность резистора

,

мгновенная мощность катушки индуктивности

.


Расчет электрических цепей