Autocad
Информатика
Курсовой
Типовик
Начертательная геометрия
Математика
Электротехника
Расчет цепей

Физика

Сборочные чертежи
Искусство
Интегралы
Термех
Билеты
Эскиз детали
На главную

Задачи по электротехнике. Цепи постоянного и переменного тока. Трехфазные цепи

Замыкание цепи, содержащей R и L – элементы

Такие процессы имеют место, например, при подключении к источнику питания электромагнитов, трансформаторов, электрических двигателей и т. п. Определим переходный процесс после замыкания контактов коммутирующего элемента (t ≥ 0) в цепи, схема которой изображена на рис. 3.3. По второму закону Кирхгофа uL + R = u. Имея в виду, что , дифференциальное уравнение, описывающее переходный процесс, имеет вид

.

Как было сказано выше, решение этого уравнения ищется в видеi = iв + iсв. Сначала определим свободную составляющую тока путем решения однородного уравнения . Для этого составим характеристическое уравнение Lp + R = 0, откуда , где  - постоянная времени цепи. Тогда .

Далее рассмотрим два случая: u = U и Um sin(ωt + γu). Здесь Um – амплитуда, γu – начальная фаза синусоидального напряжения. В первом случае вынужденную составляющую тока будем искать в виде постоянной величины. Для вынужденной составляющей исходное дифференциальное уравнение запишется в виде . Учитывая, что , вынужденная составляющая . Таким образом, . Будем считать, что i(0−) = 0. В соответствии с первым законом коммутации i(0) = i(0−) = 0. Тогда , откуда . Таким образом, ток в цепи , напряжение на L – элементе .

Качественный вид кривых iв, iсв, i и uL, соответствующих полученным решениям, представлен на рис. 3.4.

Во втором случае вынужденная составляющая тока рассчитывается с использованием символического метода. Комплексная амплитуда вынужденной составляющей тока

,

где . Тогда iв = Imвsin(ωt + γu − φ), . Постоянная интегрирования определяется из уравнения i(0) = Imвsin(γu − φ) + A1. Поскольку i(0) = 0, то A1 = −Imвsin(γu − φ). Окончательно получаем

.

Анализ полученного выражения показывает следующее. Во-первых, при γu − φ = ±π переходного процесса нет, и в цепи сразу возникнет установившийся режим. Во-вторых, при  и достаточно большой величине t, такой что за полпериода свободная составляющая существенно не уменьшается, максимальная величина тока переходного процесса может существенно превышать амплитуду тока установившегося режима.

Этот случай поясняется на рис. 3.5 из которого видно, что максимум тока imax имеет место примерно через время, равное половине периода вынужденной составляющей. В пределе при τ → ∞ imax = 2Imв.

Можно показать, что для любой линейной цепи, содержащей только R и L – элементы, максимальное значение тока через L – элемент в переходном режиме при подключении цепи к синусоидальному источнику напряжения не превышает удвоенной амплитуды вынужденного тока.

Аналогично, для линейной цепи, содержащей только R и C – элементы, максимальное значение напряжения на C – элементе в переходном режиме при подключении цепи к синусоидальному источнику напряжения не превышает удвоенной амплитуды вынужденного напряжения.

3.5 Размыкание цепи, содержащей R – и L – элементы

Рассмотрим переходный процесс в цепи, схема которой приведена на рис. 3.6, после размыкания контактов коммутирующего элемента (t ≥ 0).Нетрудно получить дифференциальное уравнение, описывающее переходный процесс:

.

Решение этого уравнения ищется в виде I = iс + iсв. Вынужденная составляющая тока iсв = 0.

Для определения свободной составляющей составим характеристическое уравнение Lp + R1 + R2 = 0, откуда , где . Тогда . Предполагая, что , в соответствии с первым законом коммутации , тогда . Таким образом, ток в цепи , напряжение . Анализ этого выражения показывает, что при  напряжение на разомкнутых контактах в момент коммутации, равное , будет во много раз превышать напряжение источника. При достаточно большом значении R1 указанное напряжение может вызвать дугу и вывести из строя коммутирующий элемент.

Цепь из R – и C – элементов

Рассмотрим схему цепи на рис. 3.7. При переводе контакта коммутирующего элемента из нижнего положения в верхнее начинается переходный процесс, связанный с зарядом C – элемента. Дифференциальное уравнение, описывающее этот процесс (t ≥ 0), можно получить в виде

 (3.4)

Решение этого уравнения uC = uвС + uсвС.

Вынужденная составляющая напряжения на C – элементе uвС = U. Для определения свободной составляющей имеем характеристическое уравнение R1Cp + 1 = 0. Корень этого уравнения , где τ1 = R1C − постоянная времени заряда. Тогда , . Предположим, что при t = 0 – напряжение на C – элементе не равно нулю, поскольку к моменту коммутации он мог разрядиться не полностью. Тогда A1 = uC (0) − U и

  (3.5)

Ток .

Кривые 1 и 2, изображенные на рис. 3.8, поясняют характер переходных процессов при начальных условиях uC(0) = 0 и uC(0) > 0 соответственно.

При переводе контакта коммутирующего элемента из верхнего положения в нижнее (по рис. 3.4) начинается переходный процесс, связанный с разрядом C – элемента. Дифференциальное уравнение, описывающее этот процесс (иС = 0)

.

Решение этого уравнения иС = ивС + иС. Нетрудно показать, что вынужденная составляющая, ивС = 0 а свободная , где τ2 = R2C – постоянная времени разряда. Тогда, принимая, что к моменту коммутации C – элемент был заряжен до напряжения uC(0), можно записать

,.

Характер переходных процессов поясняется на рис. 3.9, где кривые 1 и 2 соответствуют иС(0) = 0 и иС(0) > 0.

3.7 Цепь из R, L и C – элементов

Рассмотрим цепь, схема которой приведена на рис. 3.10.

На основании второго закона Кирхгофа после замыкания контактов коммутирующего элемента (t ≥ 0) . Подставив в это уравнение значение тока через C – элемент , получим линейное дифференциальное уравнение второго порядка относительно uC :

.

Согласно изложенной ранее методике расчета переходных процессов классическим методом для напряжения на C – элементе можно записать иС = ивС + исвС. Для нахождения свободной составляющей составим характеристическое уравнение LCp2 + RCp + 1 = 0, решая которое, получаем

,

где  – коэффициент затухания;  - резонансная частота.

Здесь возможны два основных варианта. Во-первых, , когда свободный процесс носит апериодический характер. При этом .

Во-вторых, , когда имеет место колебательный характер переходного процесса. При этом p1 = – δ + jω0, p2 = – δ – jω0, где – угловая частота собственных колебаний. Тогда .

Далее рассмотрим два случая: u = U и и = Umsin(ωt + γи) Для первого случая вынужденная составляющая uвС = U. При апериодическом характере переходного процесса можно записать

 . (3.6)

Будем считать нулевыми независимые начальные условия, т. е. uC(0) = 0 и i(0) = 0. На основании равенства  можно записать зависимое начальное условие . Для нахождения постоянных интегрирования необходимо воспользоваться выражением (3.6) и производной от этого выражения: . На основании (3.6) и последнего выражения запишем для t = 0 два уравнения:

0 = U + A1 + A2;

.

Решая эти уравнения совместно, найдем постоянные интегрирования

  и  .Подставив A1 и A2 в (3.6), получим . Тогда ток в цепи . Напряжение на L – элементе .

На рис. 3.11 представлены качественные кривые uC, i и uL, соответствующие апериодическому переходному процессу.

При колебательном переходном процессе uC = U + e-δt (A1cosω0t + A2sinω0t) Для нахождения постоянных интегрирования, имея в виду uC(0) = 0 и , запишем для t = 0 два уравнения:

0 = U + A1;

0 = –δA1 + ω0A2,

решая которые, получим A1 = –U;  . Тогда

,

,

.

На рисунке 3.12 представлены качественные кривые i, uC, uL, соответствующие колебательному переходному процессу.

Во втором случае при подключении цепи к источнику синусоидального напряжения для нахождения вынужденных составляющих тока в цепи и напряжения на C – элементе и L – элементе следует воспользоваться символическим методом расчета, в соответствии с которым

,

где

; .

Попутно заметим, что в данной цепи возможно явление резонанса при частоте , поскольку на этой частоте отсутствует фазовый сдвиг (φ = 0) между током iв и напряжением u.

Далее получим

,

,

где , . Переходя к синусоидальным выражениям, можно записать

, ,

 .

Здесь также возможен апериодический режим и колебательный режимы. Наибольший интерес представляет колебательный режим, связанный с появлением во время переходного процесса собственных колебаний с частотой ω0. При этом:

.

Исходя из этого выражения, для нахождения постоянных интегрирования, имея в виду uC(0) = 0 и , запишем для t = 0 два уравнения:

;

,

решая которые, при  получим  . Тогда

,

,

.

При этом возможны, в зависимости от соотношения частот собственных колебаний и напряжения источника, следующие характерные варианты: ω значительно меньше ω0; ω несколько меньше ω0; ω = ω0; ω несколько больше ω0; ω значительно больше ω0. Эти варианты представлены на рис. 3.13 … 3.17 соответственно.

3.8 Вопросы и задания для самопроверки

В результате чего возникают переходные процессы?

Дайте краткую характеристику классического метода анализа переходных процессов.

Как с использованием идеальных коммутирующих элементов отразить причины возникновения переходных процессов на схеме замещения?

Приведите соотношения между током и напряжением на R – ,L – и C – элементах.

Как определить порядок дифференциального уравнения, описывающего цепь?

Сформулируйте законы коммутации.

Для какого момента времени и как определяются зависимые и независимые начальные условия?

Нарисуйте схему цепи, имеющей 2 узла, 3 ветви, источник ЭДС, R – ,L, – C-элементы и коммутирующий элемент, составьте дифференциальное уравнение, описывающее переходный процесс.

Для предыдущего задания определите начальные условия, необходимые для решения дифференциального уравнения.

Каковы особенности переходных процессов в цепях, содержащих только R – и L – элементы (R – и C – элементы)?

Приведите условия возникновения колебательного переходного процесса.

Задача 2.4

В цепи (рис. 2.9) L=0,01 Гн,  А [4].

Определить ψ(t), u(t), XL. Построить временную и векторную диаграммы величин i, ψ, eL, u, частотную характеристику XL(ω).

Решение

Потокосцепление катушки

.

Напряжение на катушке

 В.

На рис. 2.10а изображены временная и векторная диаграммы. На рис. 2.10б изображена частотная характеристика XL(ω) [9].



Задача 2.5


Энергетика

Начертательная геометрия
Физика
Черчение
Лабораторные работы
Информатика
Электротехника