Решение типового задания по математике

Типовик
Расчет цепей

Физика

Интегралы
На главную

Математический анализ

Пределы и непрерывность функции

Теоремы о пределах

Дифференциальное исчисление функции одной перменной Примеры. Найти производную функции     у = lnarctgx

Производная степенной функции с любым действительным показателем Производные порядка выше первого называются производными высших порядков. Примеры.    Найти у''' для функции y = cos2x.

Логарифмическое дифференцирование

Применение производной к исследованию функций

Пример. Исследовать функцию y = x-2arctg x и построить ее график.

Лекция Числовые множества

Ограниченные и неограниченные множества

Предел последовательности

Предел монотонной ограниченной последовательности Переходим к изучению вопроса о том, какими свойствами должна обладать последовательность, чтобы у неё существовал предел. Прежде чем сформулировать окончательный ответ, рассмотрим один простой и важный класс последовательностей, для которых этот вопрос решается легко.

Критерий сходимости Больцано–Коши Общий критерий сходимости последовательности принадлежит чешскому математику Больцано и французскому математику Коши

Пример. Пусть pn – произвольная последовательность чисел, стремящаяся к +¥, и qn – произвольная последовательность чисел, стремящаяся к –¥

Первое определение предела функции Пример. Вычислить предел функции Дирихле в точке x0=0 по множествам .

Существует другое определение предела функции, не использующее понятие предела последовательности, а формулируемое в терминах окрестностей и называемое определением предела функции по Коши.

Существование предела монотонной функции Вопрос о существовании предела функции особенно просто решается для функций частного типа, представляющих обобщение понятия монотонной последовательности.

Ограниченность непрерывных на отрезке функций Пример. Показать, что на интервале непрерывная функция может быть неограниченной и не достигать верхней (нижней) грани.

Непрерывность функций

Определение предела функции

Точки разрыва функции

Геометрическая прогрессия

Раскрытие неопределенностей

Бесконечные последовательности П

Правило Лопиталя

Свойства пределов

Определение производной функции Связь между дифференцируемостью и существованием производной функции

Геометрический и физический смысл производной и дифференциала

Условие существования производственной сложной функции Пример. Вычислить производную функции .

Пример. Вычислить первую и вторую производные от функции .

О правилах Лопиталя Ранее при изучении пределов мы рассматривали неопределённости различных видов и учились раскрывать их, используя для этого специальные приёмы. Дифференциальное исчисление позволяет построить более универсальные методы вычисления неопределённых пределов. Некоторые из них, носящие общее название правил Лопиталя, мы изложим в этом пункте.

Первообразная и неопределённый интеграл В этом подразделе рассматривается задача отыскания функции, для которой заданная функция является производной. Пример. Вычислить интеграл . .

Вычисление объемов с помощью тройных интегралов Пример Найти объем конуса высотой H и радиусом основания R

Пример Найти объем тетраэдра, ограниченного плоскостями x + y + z = 5, x = 0, y = 0, z = 0

Пример Найти объем тела, ограниченного сферой x2 + y2 + z2 = 6 и параболоидом x2 + y2 = z.

Метод замены переменной

Пример Вычислить двойной интеграл

Замена переменных в тройных интегралах

Найти площадь треугольника с вершинами в точках (0,0), (2,6) и (7,1).

Двойные интегралы в полярных координатах

Пример Вычислить двойной интеграл

Найти интеграл , где R ограничена прямой и параболой .

Двойные интегралы в прямоугольной области Вычислить двойной интеграл в области .

Пример Вычислить площадь области R, ограниченной линиями .

Пример 7 Найти площадь лепестка розы, заданной уравнением .

Геометрические приложения криволинейных интегралов Криволинейные интегралы имеют многочисленные приложения в математике, физике и прикладных расчетах. В частности, с их помощью вычисляются

  • Длина кривой; Найти длину кривой при условии .
  • Площадь области, ограниченной замкнутой кривой;
  • Объем тела, образованного вращением замкнутой кривой относительно некоторой оси.

Пример 4 Найти длину циклоиды, заданной в параметрическом фиде вектором в интервале

Пример 7 Найти площадь области, ограниченной гиперболой , осью Ox и вертикальными прямыми x = 1, x = 2

Геометрические приложения поверхностных интегралов С помощью поверхностных интегралов вычисляются

  • Площадь поверхности; Пример 1 Вычислить площадь поверхности части параболоида , лежащей выше плоскости xy.
  • Объем тела, ограниченного замкнутой поверхностью.

Пример 4 Вычислить объем эллипсоида .

Пример 5 С помощью формулы Грина вычислить интеграл , где контур C представляет собой треугольник ABD с вершинами A (a,0), B (a,a), D (0,a).

Интегрирование по частям

Несобственные интегралы Пример Определить, при каких значениях k интеграл сходится.

Определить, сходится или расходится несобственный интеграл ?

Вычислить периметр единичной окружности. Решение. Вычислим длину дуги окружности в первом квадранте между x = 0 и x = 1 и затем умножим результат на 4.

Пример 6 Вычислить интеграл без использования замены переменной.

Интегрирование гиперболических функций Вычислить интеграл .

Интегрирование иррациональных функций Вычислить интеграл .

Пример Найти интеграл

Интегрирование рациональных функций Вычислить интеграл .

Интегрирование некоторых классов тригонометрических функций В данном разделе мы рассмотрим 8 специальных классов интегралов от тригонометрических функций. Для каждого класса применяются определенные преобразования и подстановки, позволяющие получить аналитическое решение.

Двойные интегралы вычисляются, как правило, с помощью повторных интегралов. Однако переход от двойных к повторным интегралам возможен не для произвольной области интегрирования R, а для областей определенного типа. Введем понятия областей интегрирования типа I и II.

Криволинейные интегралы первого рода

Криволинейные интегралы второго рода

Теорема Остроградского-Гаусса

Независимость криволинейных интегралов от пути интегрирования

Физические приложения двойных интегралов

Закон Фарадея Электродвижущая сила наведенная в замкнутом контуре C, равна скорости изменения магнитного потока, проходящего через данный контур

Пример Тело массой m брошено под углом к горизонту α с начальной скоростью v0. Вычислить работу силы притяжения за время движения тела до момента соударения с землей.

Найти массу цилиндрической оболочки, заданной параметрически в виде

Пример 5 Найти силу притяжения между полусферой с постоянной плотностью μ0 радиусом r с центром в начале координат и точечной массой m, расположенной в начале координат.

Физические приложения тройных интегралов Масса и статические моменты тела Найти центроид однородного полушара радиусом R.

Найти массу шара радиуса R, плотность которого пропорциональна квадрату расстояния от центра.

Теорема Стокса Пример Показать, что криволинейный интеграл равен 0 вдоль любого замкнутого контура C.

Поверхностные интегралы первого

Вычислить поверхностный интеграл от векторного поля

Тригонометрические и гиперболические подстановки Вычислить интеграл .

Тройные интегралы в декартовых координатах

Тройные интегралы в цилиндрических координатах

Тройные интегралы в сферических координатах П

Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимость Исследовать на сходимость ряд .

Решение дифференциальных уравнений с помощью рядов Фурье

Неравенство Бесселя и равенство Парсеваля Вычислить сумму ряда .

Сходимость рядов. Признаки сравнения Пример Определить, сходится или расходится ряд .

Используя комплексную форму записи, найти ряд Фурье для функции

Предположим, что f (x) является периодической функцией с периодом 2π. Пусть для . Найти разложение Фурье для заданной параболической функции.

Пример Найти периодические решения дифференциального уравнения , где k − константа, а f (x) − периодическая функция.

Вычислить сумму ряда . Указание: применить формулу Парсеваля к функции f (x) = x.

Определить, сходится или расходится ряд .

Найти разложение в ряд Фурье в комплексной форме для функции , заданной в интервале

Пример Найти разложение в ряд Фурье функции:  

Показать, что гармонический ряд расходится.

Найти разложение функции в ряд Фурье-Эрмита.

Определить радиус и интервал сходимости степенного ряда .

Найти ряд Маклорена для функции .

Энергетика

Черчение